Электронное издание СДМ - Строительные Дорожные Машины и Техника

Дудкин М. В., Абдеев Б.М. (ВКГТУ, г.Усть-Каменогорск, Казахстан), Кустарев Г.В. (МАДГТУ, Москва, РФ).

Рассмотрим [1, 2] общий случай плоской контактной деформации, когда касание сжимаемых тел происходит по прямой линии,перпендикулярной плоскости х0у (рисунок 1,а).

Рис. 1 - Общий случай плоской контактной деформации

Направляя ось 0х по общей касательной кривым f₁(x) и f₂(x), ограничивающим упругие тела, будем иметь: f₁B(0) = f₂B(0) = 0. Сумму вторых производных f₁BB(0) + f₂BB(0) считаем отличной от нуля и, вводя допущение о малости упругих перемещений, представляем f₁ + f₂ следующим образом[1, 3]:

(1)

Вводим предложение относительно распределённых контактных сил q=q(x), что их равнодействующая Р,перпендикулярная оси 0х, направлена к точке 0 начала касания взаимодействующих поверхностей. Так как первоначальный просвет между контактирующими телами, согласно(1), является симметричным относительно оси 0у, то и давление q на цилиндрических поверхностях будет также осесимметричной эллиптической функцией по аргументу х (функция Герца-Штаермана),которая [1], имеет вид:

 (2)

где q_м, q_с - соответственно,максимальное и среднее значения функциональной зависимости q (х)(рисунок 1, а);

– полуширина области контакта [1] (-с£ х £ с);

у₁, у₂ –физико-механические постоянные взаимодействующих материалов, зависящие от модулей упругости Е₁ и Е₂ и коэффициентов Пуассона μ₁,μ₂:

, .

Сила Р связана с реактивным давлением q интегральным соотношением:

 (3)

Модифицируем формулу И. Ф. Штаермана (2) [1]применительно к решаемой задаче, когда неподвижный стальной валец, моделируемый абсолютно жестким и гладким цилиндрическим штампом эллиптического профиля f₁(x) (у₁=0, Е₁>>Е₂или Е₁=∞), оказывает статическое давление на упруго деформируемую полуплоскость f₂(x) = 0 => f₂”(0) = 0,представляющую собой уплотненный до прекращения остаточных перемещений слой грунта или дорожного покрытия, имеющего среднее значение коэффициента Пуассонаμ₂ = 0,25 (0,2…0,3) и модуль деформации Е₂ = Е_к[4] (рисунок 1,б).

Для преобразования и адаптациифундаментальных зависимостей (2) приводим необходимые аналитические соотношения(рисунок 2) [3, 5]:

-функции нижней половины цилиндрической поверхности вальца f₁(x) и её второй производной f₁'' (х) из уравнения эллипса (рисунок 1,б):

(4)

(5)

значение f₁''(0) при х=0: ;

- радиусы кривизны R=R(x) и R(0) эллиптической направляющей цилиндра(4), принимая во внимание выражения (5):

(6)

(7)

- формула, связывающая удельную линейную силуР с шириной вальца В и вертикальной нагрузкой G_в, приложенной к его центру: P=G_b/B;

- глубина h погружениякатка в уплотняемый слой материала (высота сегмента к0к', рисунок 2), которую находим из уравнения эллипса (рисунок 1,б), когда х=±с и у= h:

, или, при h-b < 0,,

где с - величина полухорды кривой кОк'(рисунок 2).

Рис. 2 – Схема контакта вальца с уплотняемым материалом

Используя формулы (4)-(8), конкретизируемвыражения (2) - (8), после вышеуказанных подстановок Е₂ = Е_к,f₂(x)=0, f₂''(0)=0, у₁=0, m₂ =0,25:

 (8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Корректность формул (8) – (13) следует из осевой симметрии расчётных схем рисунка 1 и первоначального соприкосновения взаимодействующих тел по оси zx0y,проходящей через точку x=y=0 (рисунок 1,б). При этом модель плоского деформированного состояния, положенная в основу зависимостей (8) – (13), является адекватной применительно к данной задаче [7]для областей контакта цилиндрической поверхности вальца с уплотняемым материалом в пределах соблюдения условия (7) и [1] , когда выполняется равенство (1), подтверждающее возможность приближённой аппроксимации функции (4), согласно (5) и [3], то есть:

(14)

(15)

где (рисунки 1,б и 2).

Практическая реализация аналитических зависимостей (8) – (13) требует введения дополнительной предпосылки о неизменной длины S эллиптической образующей цилиндра в процессе её трансформации в окружность радиусом R=const. В этой связи и с целью сопоставить с типом следующих расчётных величин при различных полуосях а, в эллипса, приводим методику вычисления S и линейного размера 2l дуги контакта k0k’ (рисунок 2).

Для математической формулировки данной процедуры удобнее записать каноническое уравнение того же эллипса (рисунок 1,б и 2)

 (16)

где [3, 5]: 

Геометрический смысл параметра понятен из рисунка 3, где ANA'- полуокружность радиуса а и точкой N, взятой на одной вертикали с точкой М эллипса, по ту же сторону от оси AA'. Непосредственно в решаемой задаче уголимеет два численных значения:

1) для расчета одной четвёртой части параметра S, когда x_э = а.

 (17)

2)к определению длины эллиптической полудуги l при x_э = с (формулы (12), (16) и рисунок 3)

(18)

Рис. 3. - К определению длины эллиптической полудуги

Дифференциал dSдуги S (рисунок 3) имеет вид: ,

где - эксцентриситет эллипса, , [3, 5].

Для окружности (а=в), являющейся частным видом эллипса,= 0.

Представляем искомые размеры l и S эллиптическими интегралами второго рода в форме Лежандра [5, 6] для вычисления которых составлены справочные таблицы [3, 8].

(19)

(20)